2024-2025学年（上）岳阳九年级质量检测数学

1、大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（       ）

A．3

B．4

C．6

D．9

2、下列方程中，一元二次方程是（       ）

A．2x＋1＝0

B．

C．x2﹣3＝0

D．x﹣2y＝0

3、如图，将△ABC绕点C（0，2）旋转180∘得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）

A．（−a，−b−2）

B．（−a，−b +2）

C．（−a，−b+3）

D．（−a，−b+4）

4、已知，则的值是（       ）

A．

B．

C．

D．

5、如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S，则S关于t的大致函数图象是（　　　）

A. B.

C. D.

6、如图，在中，.将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为(　　)

A．

B．

C．

D．

7、下列方程是一元二次方程的是（　　）

A. x﹣2=0   B. x2﹣2x﹣3   C. x2﹣4x﹣1=0   D. xy+1=0

8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（　　）

A．﹣1

B．1

C．

D．

9、根据尺规作图的痕迹，可成功确定三角形内心的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10、下列方程属于一元二次方程的是（       ）

A．

B．

C．

D．

11、如图，在中，分别是边上的高，交于点，则的长度为__________．

12、如图所示，在下列四组图形中，下边图形与左边图形成中心对称的有____.

13、若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（m＜n），则m：n＝_____．

14、已知，则______．

15、如图，中，，，，则的长是______（结果保留根号）．

16、关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．

17、古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，建立平面直角坐标系，将的顶点与原点重合，边与轴的正半轴重合，在第一象限内．

①在平面直角坐标系中，画出函数的图象，图象与边交于点；

②以为圆心、以长为半径作弧，交函数的图象于点，如图所示；

③分别过点，作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接．此时有．

如图，过点作轴于点，交于点，连接，，且交于点，设点的坐标为，点的坐标为，

根据以上作图，回答下列问题：

(1)点的坐标为______；（用含，的代数式表示）；

(2)直线的解析式为______，则点的坐标为______；（用含，的代数式表示）；

(3)根据点，的坐标可以判断线段与的位置关系为______，由此结合题意可判断四边形形状为______；

(4)证明：．

18、如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．

(1)求证：．

(2)若，，求的长．

19、“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究，得出结论：如图1,在中，、、的对边分别是、、，如果，那么．下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．

已知：如图2，在△中，，．求证：．

证明：如图2，延长到，使得．

∴，

∵，，

∴．

∵，

∴．

又，

∴△△．

∴，即．

∴．

根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）；

已知：如图1，在△中，．

求证：．

20、如图，平面直角坐标系中两条直线OC⊥BC，垂足为C，其OC＝2cm，∠COB＝60°，反比例函数y＝的图象过点C.

(1)求：反比例函数表达式和点B的坐标.

(2)若现有长为1cm的线段MN在线段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点O重合，N到点B停止运动)，过M、N作OB的垂线分别交直线OC、BC于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts.

①若△OMP的面积为S.求出当0＜t≤1时，S与t的函数关系式.

②线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若可能，直接写出此时t的值；若不可能，说明理由.

21、解方程∶．

22、如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．

（1）求证：AO平分；

（2）若的半径为5，，设的面积为，的面积为，求的值；

（3）若，求的值（用含m的代数表示）．

23、在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点．

(1)点的坐标为___________．

(2)若抛物线经过点．

①求抛物线的对称轴；

②若在该抛物线上有两点，，且，则的取值范围是___________；

(3)当时，若二次函数的最小值为2，求的值；

(4)将点向左平移4个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图像，直接写出的取值范围．

24、某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度.如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）